Μαθηματικό παράδοξο

[Symeon]

Μου φαίνεται ότι τά'χουμε κάνει σαλάτα... Ρε παιδιά μην κουράζεστε άδικα... Δεν θα καταλήξετε πουθενά... Μερικοί αναφέρονται σε θεωρητικές εφαρμογές (Θεωρία αριθμών) άλλοι σε πρακτικές εφαρμογές (πειράματα Φ2 του τρικ) άλλοι σε κάτι που έχουν διαβάσει...Όλα εξαρτώνται από  τη σκοπιά που το βλέπεις, τον τρόπο που το χρησιμοποιείς και το τί θέλεις να κάνεις...

[kanellop]

@freemind: den amfisvhtw auto pou les, oti an strogullopoihseis to 0,999 (3 dekadika) se 1 polla mporoun na sumvoun. Lew pws to 0,999...(apeira dekadika) = 1 (xwris strogullopoihseis)

@symeon: mias kai den milame gia filosofia/h8ikh/politikh, alla gia ma8hmatika, den nomizw pws uparxei "opws to vlepei kaneis" (dedomenou panta oti sumfwnoun ola ta merh sthn apodoxh kapoiwn aksiwmatwn)

[bluechild]

   Λοιπόν παιδιά, το είχα κατά νου κάμποσο καιρό αυτό το θέμα και σκέφτηκα δύο απαντήσεις :

1)  Όταν κάνουμε την αφαίρεση 27-18 λέμε 8 από 7 και "ένα το κρατούμενο". Το κρατούμενο το προσθέτουμε στη συνέχεια στον άσσο του 18. Τώρα στην αφαίρεση :
 
  99,9999999999...-9,9999999999...

  από πού αρχίζουμε να κρατάμε κρατούμενο ;; Αν αρχίσουμε να κρατάμε απο το 100ο δεκαδικό τότε μένοει κι ένα υπόλοιπο (τα 9άρια μετά το 100ο δεκαδικό) που δεν υπολογίσαμε. Δηλαδή, θέλω να πώ ότι κάτι περίεργο τρέχει με αυτή την αφαίρεση χωρίς να μπορώ να καταλάβω ακριβώς τι.

2) Ιδού μία απόδειξη ότι ισχύει η πρόταση (και ποιός μας είπε ότι δεν ισχύει;). Χωρίς να έχει να κάνει με θεωρία του χάους ή τίποτα τέτοιο.

  Σχέση 1 : 0,9999... = (9/10) + (9/100) + (9/1000) + .... = άθροισμα της γεωμετρικής προόδου :
 
           Α(ν+1) = (1/10) * Α(ν)

  Όμως τα 9άρια είναι άπειρα, άρα πρόκειται για άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου που δίνεται από τη σχέση :

          Σ = Α(1)/(1-(1/10)) που δίνει : Σ = (9/10)/(1-(1/10)) = (9/10)/(9/10) = 1 (!!)

  Το άθροισμα των άπειρων όρων όμως, είναι ο αριθμός 0,9999... (γιατί βλ. Σχέση 1). Άρα Σ=0,999 ....

   Άρα 0,999... = 1

   Ε ;

[j_melt]

  Λοιπόν παιδιά, το είχα κατά νου κάμποσο καιρό αυτό το θέμα και σκέφτηκα δύο απαντήσεις :

1)  Όταν κάνουμε την αφαίρεση 27-18 λέμε 8 από 7 και "ένα το κρατούμενο". Το κρατούμενο το προσθέτουμε στη συνέχεια στον άσσο του 18. Τώρα στην αφαίρεση :
 
  99,9999999999...-9,9999999999...

  από πού αρχίζουμε να κρατάμε κρατούμενο ;; Αν αρχίσουμε να κρατάμε απο το 100ο δεκαδικό τότε μένοει κι ένα υπόλοιπο (τα 9άρια μετά το 100ο δεκαδικό) που δεν υπολογίσαμε. Δηλαδή, θέλω να πώ ότι κάτι περίεργο τρέχει με αυτή την αφαίρεση χωρίς να μπορώ να καταλάβω ακριβώς τι.

2) Ιδού μία απόδειξη ότι ισχύει η πρόταση (και ποιός μας είπε ότι δεν ισχύει;). Χωρίς να έχει να κάνει με θεωρία του χάους ή τίποτα τέτοιο.

  Σχέση 1 : 0,9999... = (9/10) + (9/100) + (9/1000) + .... = άθροισμα της γεωμετρικής προόδου :
 
           Α(ν+1) = (1/10) * Α(ν)

  Όμως τα 9άρια είναι άπειρα, άρα πρόκειται για άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου που δίνεται από τη σχέση :

          Σ = Α(1)/(1-(1/10)) που δίνει : Σ = (9/10)/(1-(1/10)) = (9/10)/(9/10) = 1 (!!)

  Το άθροισμα των άπειρων όρων όμως, είναι ο αριθμός 0,9999... (γιατί βλ. Σχέση 1). Άρα Σ=0,999 ....

   Άρα 0,999... = 1

   Ε ;

1) Βασικά δε χρειάζεται να κάνεις την αφαίρεση με αυτό τον τρόπο. Αν πεις οτι β=0.999... τοτε 9.999...=9+β και 99.999...=99+β. Συνεπώς 99.999...-9.999...=99+β-9-β=99-9=90. Οτι κι αν είναι τώρα το β δεν έχεις κανένα πρόβλημα να το αφαιρέσεις...
2) γ**άτο! Νομίζω έχουμε βρει τουλάχιστον 3 αποδείξεις για το ίδιο πράγμα...  

[Thanocaster]

File bluechild... Dystyxws ta ftwxa mathimatika pou mathainoume sta lykeia mas, den einai ikana na eksigisoun tetoiou eidous paradoksa. I apodeiksi pou deixneis exei ena poly lepto simeio pou parousiazei provlima. O typos pou anafereis einai aftos

S_v= A(1) * [k^v-1]/k-1

Ara s_v= 9/10 * [1/10]^v-1/ 1/10 - 1

To opoio dinei 9/10 * 0.999999999999.../9/10. To 9/10 tou arithmiti fevgei me afto tou paronomasti kai menei 0.99999999....

To provlima loipon einai: POIO EINAI TO V??? Einai to apeiro. Kai to 1/10 otan ypswthei sto apeiro poso dinei?

(O typos aftos einai o typos pou anaferei KAI APODEIKNYEI to sxoliko vivlio tis Defteras Lykeiou sto mathima tis Algevras)

[johncoopas]

Thanocaster o tupos pou edwses einai gia auksousa gewmetriki proodo diladi me logo |k|>1..

Stin apodeiksi tou j_melt exoume fthinousa gevmetriki proodo me |k| = 0.1 <1 kai o tupos pou mas dinei to dinei to diadoxiko athroisma twn apeirvn orwn tis eina

A(1) / (1-k) = (9/10) / (1- 0.1) =0.9/0.9 = 1

Den kserw an einai swsti san skepsi k ti isxuei pragmatika me to "paradokso" ,
alpa exw prospathisei k egw na katalavw ti ginetai k tin apodeiksi tou j_melt tin exw dei polu suxna..

[freemind]

Γραφουμε μονο με ελληνικους χαρακτηρες στο forum.

[Βραζίλης]

johncoopas,

Δεν ξέρω αν και πότε θα σου απαντήσει ο Thanocaster, γιατί δεν έχει συνδεθεί εδώ και πολύ καιρό, και η συζήτηση αυτή έγινε πριν 7+ χρόνια.

Έχε υπόψη ότι δεν επιτρέπονται τα greeklish. Γράφε ελληνικά.

[Απόλλων]

Γραφουμε μονο με ελληνικους χαρακτηρες στο forum.

Kαι κατά προτίμηση δεν επαναφέρουμε θέματα που είναι ανενεργά εδώ και 7 χρόνια... αυτό πρέπει να είναι ρεκόρ... 

[gers]

Γιατί να μην επαναφέρουμε θέματα 7 και βάλε χρόνων όταν το αντικείμενό τους δε σχετίζεται με την τότε επικαιρότητα και είναι γενικού ενδιαφέροντος? Δηλαδή, οκ, κατανοώ ότι δεν έχει νόημα να απευθύνεσαι σε κάποιον που πόσταρε πριν 7 χρόνια ή να ξεθάβεις ένα θέμα με τίτλο "στη Γιουβέντους ο Νέντβεντ" αλλά αν το θέμα είναι ενδιαφέρον και απλά θάφτηκε -όπως είναι λογικό με τα χρόνια- γιατί να μην ξανάρθει στην επιφάνεια?