Μαθηματικό παράδοξο

[j_melt]

Μιας και τώρα τελευταία έχουμε πιάσει τα μαθηματικά προβλήματα και τα αινίγματα, να κάτι που είπε ένας μαθηματικός στη σχολή μου. Πριν το διαβάσετε σας προειδοποιώ οτι δεν πρόκειται για αίνιγμα που απαιτεί λύση, ούτε για παράδοξο που απαιτεί εξήγηση, είναι απλά κάτι που ισχύει στα μαθηματικα και φαίνεται παραλογο εκ πρώτης οψεος, αν και αληθινό.

Ο αριθμός 9.999... όπου ο αριθμός των δεκαδικων ψηφίων (όλα 9) είναι άπειρος (δεν τείνει στο άπειρο, έιναι άπειρος) είναι ίσος με το 10.
Κουφο? Αποκλείεται? Ιδού η αποδειξη:
Έστω χ=9.999... με άπειρα δεκαδικα ψηφία. Θα δείξουμε ότι χ=10.
Πολλαπλασιαζουμε την εξίσωση χ=9.999... με το 10 και παίρνουμε:
10χ=99.999... όπου το 99.999... έχει πάλι άπειρα δεκαδικα ψηφία (άπειρο πλην ένα ισον άπειρο).
Αφαιρώντας λοιπον αυτες τις δύο εξισώσεις κατα μέρη, παίρνουμε:
10χ-χ=99.999...-9.999... <=> 9χ=90 <=> χ=10

Πώς σας φαίνεται? Εγώ δεν μπορούσα να το χωνέψω...  

[Wintermute23]

Η αλήθεια είναι ότι αυτό το "παράδοξο" είναι ψιλομαλ***α!!!
Αν και μας το έχουν δείξει στο Μαθηματικό που σπουδάζω,υπάρχουν δύο μικρά αλλά σημαντικά λάθη.
1)Ο αριθμός 9.99.. λόγω του ότι είναι περιοδικός,δε μπορεί να θεωρηθεί ως "χειροπιαστός" αριθμός.Κατά συνέπεια δε μπορείς να τον χρησιμοποιήσεις για πράξεις!!
2)Επίσης,είτε δεχόμαστε το πρώτο επιχείρηματα είτε όχι,τα μαθηματικά έχουν μια σχέση με τη Θεωρία του Χάους.Ένα από τα πορίσματα της θεωρίας αυτής είναι ότι μια απειροελάχιστη αλλαγή στα εισερχόμενα δεδομένα(input) μιας σχέσης προκαλεί τεράστιες και μη προβλεπόμενες αλλαγές στα εξερχόμενα δεδομένα(output).Κατά συνέπεια αυτο το απειροελάχιστο 0,000......1 αν και μοιάζει ασήμαντο και θα πρέπει να θεωρηθεί τέτοιο!!

Στα μαθηματικά,όπως και στο προγραμματισμό,ένα από τα πιο "επικίνδυνα" λάθη είναι το λάθος λογικής.Αν η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι σωστή,σε περίπτωση εισαγωγής δεδομένων,τα οποία αποδειχθούν στη συνέχεια λανθασμένα,το αποτέλεσμα θα είναι σωστό διότι είναι σωστή η διαδικασία!!Αυτό ισχύει και με το συγκεκριμένο παράδοξο.Οι πράξεις είναι σωστές αλλά τα δεδομένα λάθος,κάτι που μας κάνει να νομίζουμε πως το αποτέλεσμα είναι σωστό.

[kanellop]

Δεν είναι παράδοξο, ούτε υπάρχει "απειροελάχιστο 0,0.....1" ανάμεσα, οι αριθμοί είναι ακριβώς ίσοι!
Από μικρά παιδιά παίζαμε με το "3 *1/3 = 1" και "3 * 1/3 = 3 * 0,333.... = 0,9999...."

[j_melt]

Kanellop, auto ton aplo tropo na perigrapseis to idio pragma den ton eixa skeftei... Ontws etsi deixneis apla kai grigora oti 0,999...=1.

Wintermute23:
1) Giati den mporoume na ton xrisimopoihsoume gia prakseis? Pio xeiropiasta einai ta oria, oi paragwgoi, ta oloklirwmata, pou vgazoun apotelesmata tou stul plin ena epi apeiro ison plin apeiro, ktl? Den spoudasa Mathimatika opws apo oti katalava kaneis esu, alla auto pou egrapsa to exei pei kathigitis panepistimiou Mathimatikwn...
2) Opws eipe kai o Kanellop, den uparxei apeiroelaxisto 0,000...1. An ta midenika itan para polla tha itan apeiroelaxisto. An to plithos twn midenikwn teinei sto apeiro to 0,000...1 teinei sto miden, kai an to plithos ton midenikwn einai apeiro, tote o arithmos autos einai to miden! Omoiws, otan to plithos twn dekadikwn psifiwn to 9,999... teinei sto apeiro, o arithmos teinei sto 10, an to plithos einai apeiro (periodikos arithmos opws eipes), tote o arithmos einai isos me to miden. Ola vasizontai sto oti o arithmos twn dekadikwn psifiwn einai mi peperasmenos. Etsi to vlepw egw toulaxiston...

[stathispap]

Περιμενω απαντηση απο τον parpen

[j_melt]

Περιμενω απαντηση απο τον parpen

Γιατί ειδικά πο τον parpen? Είναι μαθηματικός?

[Hopkins]

An kai den eimai kai apolita sigouros, pistevw oti den mporoume na kanoume prakseis metaksi twn eksiswsewn x=9,9999... kai 10x=99,9999... giati stin ousia prokeitai gia tin idia eksiswsi! Gia tin x=9,9999... . Exw dikio?

[Wintermute23]

Το πρώτο επιχείρημα μου το είπε μαθηματικός!!Επίσης από την ενασχόλησή μου με τα μαθηματικά,έχω διαπιστώσει ότι πολλές θεωρίες είναι ολιγον τι αυθαίρετες !!!:o
Το μαθηματικό οικοδόμημα είναι βασισμένο σε αυθαίρετα συμπεράσματα(Κανονες-δόγματα),ιδέες δηλαδή τις οποίες αποδεχόμαστε ανευ απόδειξης.Κατά συνέπεια όλη η ιστορική πορεία των μαθηματικών είναι βασισμένη σε δήθεν σωστές βάσεις.Και λέω δήθεν γιατί αυτές είναι οι γενικά αποδεκτές.Αυτό όμως δεν τις μετατρέπει αυτόματα και σε σωστές.Η μαθηματική λογική ειναι βασισμένη στην ανθρώπινη λογική και στον ανθρώπινο τρόπο σκέψης.Επομένως σε άλλες συνθήκες τα θεωρήματα θα είχαν άλλη μορφή!!

[kanellop]

o ma8hmatikos pou rwthses poso xeiropiasto ari8mo 8ewrei to "π"? auto kanei na to vazoume se prakseis?
 

gia ta upoloipa, ontws an den dexteis p.x. oti "1+1=2" tote katarreoun polla pragmata kai mporeis na peis oti osa ma8hmatika vivlia uparxoun lene asunarthsies

[freemind]

o ma8hmatikos pou rwthses poso xeiropiasto ari8mo 8ewrei to "π"? auto kanei na to vazoume se prakseis?
 

gia ta upoloipa, ontws an den dexteis p.x. oti "1+1=2" tote katarreoun polla pragmata kai mporeis na peis oti osa ma8hmatika vivlia uparxoun lene asunarthsies

To π τουλαχιστον στο Φυσικο δε το αντικαθιστουμε...Απλα το αφηνουμε στο αποτελεσμα ( πχ 3π )

[kanellop]

To π τουλαχιστον στο Φυσικο δε το αντικαθιστουμε...Απλα το αφηνουμε στο αποτελεσμα ( πχ 3π )

ennoeis pws to "π" den einai "xeiropiastos" ari8mos h to les enhmerwtika?
an einai to 2o, px kai stous Mhxanologous ths Patras 8ewrousan "π=3" kai ka8arizan  
stous Mhx. H/Y to "e" to afhname "e" alla p.x. to "10/3" 8a legame oti isoutai me "3.333..." kai oxi me "10*0.333333..."

[freemind]

To π τουλαχιστον στο Φυσικο δε το αντικαθιστουμε...Απλα το αφηνουμε στο αποτελεσμα ( πχ 3π )

ennoeis pws to "π" den einai "xeiropiastos" ari8mos h to les enhmerwtika?
an einai to 2o, px kai stous Mhxanologous ths Patras 8ewrousan "π=3" kai ka8arizan  
stous Mhx. H/Y to "e" to afhname "e" alla p.x. to "10/3" 8a legame oti isoutai me "3.333..." kai oxi me "10*0.333333..."

Φυσικα και ενημερωτικα...Οι θεωριες της Φυσικης πολλες φορες χρησιμοποιουν διαφοροποιημενα μαθηματικα.Οχι σε μεγαλο βαθμο, αλλα γενικα σε καποια σημεια υπαρχουν μικροδιαφορες....

[j_melt]

Hopkins: Den einai idies eksiswseis, einai i eksiswsi pollaplasiasmeni epi 10. An elega x=5 kai 3x=15 kai meta afairousa, tha evgaza 2x=10<=>x=5 pou den einai kai polu xrisimo giati to kserame idi. Tin praksi omws mporw na tin kanw.

Wintermute23: Sumfwnw apolutws! Ola ta mathainoume kai ta apodeiknuoume vasi apodoxwn pou vaftizoume aksiwmata kai dexomaste oti isxoun aneu apodeiksews. Apo ti stigmi pou exoume anaptuksei omws to systima twn aksiwmatwn kai thewrimatwn pou apodexomaste, mporoume na apodeiknuoume pragmata mesa se auto kai me vash auto.

kanellop kai freemind: Polu kalo paradeigma to π... Estw ki an afineis to apotelesma 3π kai den to antikathistas, kai to 3π-2π=π praksi einai me enan arithmo me apeira dekadika psifia, pou apla epilegoume na sumvolizoume me auto to gramma.

FENDERAS: Em... Nomizw mperdepses ta thread... Pantws sumfwnw!  

[freemind]

kanellop kai freemind: Polu kalo paradeigma to π... Estw ki an afineis to apotelesma 3π kai den to antikathistas, kai to 3π-2π=π praksi einai me enan arithmo me apeira dekadika psifia, pou apla epilegoume na sumvolizoume me auto to gramma.

F

Το επιλεγουμε, τουλαχιστον στο Φυσικο, γιατι η λεπτομερεια του δεκαδικου ψηφιου μπορει να επηρεασει μια ολοκληρη πειραματικη διαδικασια. Γι'αυτο, οταν κανουμε τετοιες πραξεις ( παντα στο Φυσικο ) και το "π" ειναι "ενεργο" μελος του αποτελεσματος, τοτε το αφηνουμε για να μπορεσουμε να εχουμε οσο το δυνατον πιο ακριβες αποτελεσμα...

[Dionysos]

κοίτα πιστεύω ότι ο αριθμός 9.999.999.999. .... <'απειρα ενιάρια> μάλλον θα έπρεπε να είναι τα άπειρο (αφού δεν τείνει...) άρα το
άπειρο = 10 μάλλον οξύμωρο... το άπειρο δεν είναι χειροπιαστός αριθμός.... και το 9.999.999.999.... άπειρα εννιάρια είναι άπειρος αριθμός.... επιπλέον, πώς το πολλαπλάσιάζει με δέκα (10χ=9.999.999.999..... κλπ κλπ)... επειδή αν πολλαπλασιάσεις το άπειρο με το 10 πάλι άπειρο σου κάνει? κατά την ίδια φιλοσοφία, τότε 11χ=9.999.999..... και 12χ= 9.999.999...... κλπ κλπ....
άρα έχουμε 10=11=12=9.999.999.999..... κλπ... άρα το θεώρημα του καθηγητή σου είναι άτοπο  

[j_melt]

κοίτα πιστεύω ότι ο αριθμός 9.999.999.999. .... <'απειρα ενιάρια> μάλλον θα έπρεπε να είναι τα άπειρο (αφού δεν τείνει...) άρα το
άπειρο = 10 μάλλον οξύμωρο... το άπειρο δεν είναι χειροπιαστός αριθμός.... και το 9.999.999.999.... άπειρα εννιάρια είναι άπειρος αριθμός.... επιπλέον, πώς το πολλαπλάσιάζει με δέκα (10χ=9.999.999.999..... κλπ κλπ)... επειδή αν πολλαπλασιάσεις το άπειρο με το 10 πάλι άπειρο σου κάνει? κατά την ίδια φιλοσοφία, τότε 11χ=9.999.999..... και 12χ= 9.999.999...... κλπ κλπ....
άρα έχουμε 10=11=12=9.999.999.999..... κλπ... άρα το θεώρημα του καθηγητή σου είναι άτοπο  

Λάθος... Όσα δεκαδικα ψηφία και να βάλεις σε έναν αριθμο, δεν έιναι ίσος με το άπειρο. Παράδειγμα το π για το οποίο μιλήσαμε και παρπάνω. Έχει άπειρα δεκαδικα ψηφία, άλλα ειναι μικροτερο του 4. Γενικα, αν είχε άπειρα μη δεκαδικα ψηφία θα ήταν ίσο με το άπειρο...

[Dionysos]

δεν είχα προσέξει ότι ήταν  δεκαδικά ψηφία... νόμιζα είπες 9.999.999.999 klp klp οχι 9,999999999999999999999999... παρντόν ε αυτό δεν είναι παράδοξο απολύτως φυσιολογικό είναι από μαθηματικής σκοπιάς.... όσο φυσιολογικό είναι και το άπειρο , μια έννοια που δεν υπάρχει στη φύση (άπειρο= αυτό του οποίου δεν μπορούμε να έχουμε πείρα- γνώση... και ουσιαστική έτσι? το άπειρο δεν έχει εξηγηθεί ποτέ ικανοποιητικά... ιδού ο μαζοχισμός του ανθρώπου... δημιουργεί έννοιες και μετά προσπαθεί να τις εξηγήσει )

[Thanocaster]

Opws kai na xei i afairesi 99,999999....-9,99999..... den mporei na sou dwsei katharo akeraio. kai afto gia enan aplo logo: ta dekadika psifia twn duo arithmwn einai apeira. Diladi prospatheis na afaireseis duo apeires posotites. Skepsou to alliws. Grapsto: 9*10+9*1+9*1/10+9*1/100......-9*1+9*1/10+9*1/100....... Profanws einai athroismata apeirwn orwn. Kai opws katalavaineis den mporeis na sigkrineis duo apeirosinola.

Kai me afto geniountai polla paradoxa akoma pio endiaferonta. Pare to sinolo twn pragmatikwn arithmwn R, kai sigkrine to me to synolo twn fysikwn N. Parolo pou anamesa se dyo diadoxikous orous tou N paremvalontai apeiroi oroi tou R, den mporei kaneis na isxyristei oti to synolo R einai eyrytero apo to sinolo N! Oso ki an i logiki mas leei to antitheto.

[freemind]

Νομιζω οτι αυτο που γινεται εδω λεγεται "εκτελεση των μαθηματικων απο τα 100 μετρα με υδραυλικο πιεστηριο". Ιδια λογικη εχει πχ και το ερωτημα "Ποιος αριθμος ειναι πιο κοντα στο 0?", οπως επισης "Ποιος αριθμος τεινει πιο κοντα στο 1?" Δεν ειναι παραδοξα, απλα δεν συμβαδιζουν με τη λογικη του πεπερασμενου χωρου

[Baphomet (Πέτρος)]

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΔΟΞΟ. ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΛΑ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΛΕΓΕΤΑΙ ΚΑΙΑΝ ΘΥΜΑΜΑΙ ΚΑΛΑ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΤΙ 0,99999999..=1

[freemind]

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΔΟΞΟ. ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΛΑ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΛΕΓΕΤΑΙ ΚΑΙΑΝ ΘΥΜΑΜΑΙ ΚΑΛΑ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΤΙ 0,99999999..=1

Αν κανεις ενα πειραμα και βαλεις μια τετοια παραδοχη, μπορει να αποδειξεις την υπαρξη της αντιβαρυτητας ή ακομα χειροτερα μπορει να προκαλεσεις μια πυρηνικη εκρηξη μεγαλης ισχυος.
Αλλο οταν χρησιμοποιουμε το lim ( του χ-> σε ενα αριθμο ), που αμα το δουμε σε μορφη γραφικης παραστασης θα δουμε να τεινει στο απειρο ( με την εννοια "πλησιαζει, ομως δε φτανει" ) και αλλο οταν χρησιμοποιουμε αυτουσιο εναν αριθμο με απειρα δεκαδικα στοιχεια. Και ιδιαιτερα σημαντικο ειναι , οταν ο αριθμος εχει περιοδικα δεκαδικα στοιχεια ( δηλαδη που επαναλαμβανονται συνεχως σε μια συγκεκριμενη περιοδικη στιγμη..πχ ενας περιοδικος αριθμος ειναι ο "π" ), γιατι τοτε εχουμε μια απειρη αλληλουχια αριθμων που δεν τεινουν πουθενα, αλλα ο καθενας εχει μια ιδιαιτερη σημασια και λειτουργια μεσα στον αριθμο.

[kanellop]

Αν κανεις ενα πειραμα και βαλεις μια τετοια παραδοχη, μπορει να αποδειξεις την υπαρξη της αντιβαρυτητας ή ακομα χειροτερα μπορει να προκαλεσεις μια πυρηνικη εκρηξη μεγαλης ισχυος.

Paradoxh? To oti 0,999... = 1 mou moiazei perissotero me tautologia, para me paradoxh. 8a endiaferomoun pantws na dw parapompes se vivlia (h links) pou na dhlwnoun to anti8eto.

[freemind]

Αν κανεις ενα πειραμα και βαλεις μια τετοια παραδοχη, μπορει να αποδειξεις την υπαρξη της αντιβαρυτητας ή ακομα χειροτερα μπορει να προκαλεσεις μια πυρηνικη εκρηξη μεγαλης ισχυος.

Paradoxh? To oti 0,999... = 1 mou moiazei perissotero me tautologia, para me paradoxh. 8a endiaferomoun pantws na dw parapompes se vivlia (h links) pou na dhlwnoun to anti8eto.

Δυστυχως για link δεν μπορω να σε βοηθησω, ομως μπορω με βεβαιοτητα να σου πω οτι στον οδηγο του κυριου Τρικαλινου που μοιραζεται στους φοιτητες του Φυσικου, υπαρχει ενα ολοκληρο κεφαλαιο περι στρογγυλοποιησης και το κατα ποσο η διαδικασια επηρρεαζει το αποτελεσμα. Απλα, μπορω να σου πω οτι υπαρχουν μηχανηματα μετρησης που μετρανε ακομα και το χιλιοστο δεκαδικο ψηφιο ( οπως το μηχανημα λεϊζερ που μετρα την ταλαντωση 2 ακινητων φαιμονενικα μαζων...αν λοιπον βαλεις 1, αντι για 0,999 τοτε εχεις χασει την πειραματικη ασκηση. )
Εδω ειναι και η μεγαλη διαφορα ενος φυσικου απο εναν μαθηματικο. Ο μεν πρωτος ενδιαφερεται να φτασει στην τελειοτητα ενος τυπου μεσου ενος πειραματικου αποτελεσματος που θα τον φερει πιο κοντα στην πραγματικοτητα, ενω ο δευτερος αντιλαμβανεται την τελειοτητα μεσα απο εναν τυπο που αποδειχτηκε με μεγαλη δυσκολια, ενω στη πραγματικοτητα μπορει να μην αντικατροπτιζει την πραγματικοτητα. Παρολαυτα η συνεργασια και των 2 κλαδων παραγει τα πιο εκπληκτικα αποτελεσματα

[Σπύρος]

Εγώ πάντως ξέρω ότι στον μανάβη τα 19,9 ευρώ = 20 ευρώ
Τι άλλη απόδειξη θέλετε;

[Βραζίλης]

Εγώ πάντως ξέρω ότι στον μανάβη τα 19,9 ευρώ = 20 ευρώ
Τι άλλη απόδειξη θέλετε;

Πολλοί μανάβηδες δεν δίνουν καν απόδειξη!...