Φιλοσοφια-Μαθηματικα-Μουσικη

[Lordos]

Εάν έχουμε σαν δεδομένο ότι η νότα Α (ΛΑ) ορίζεται από την συχνότητα 460c/s (2ο διάστημα), υπάρχει μια Μαθηματική σχέση που μας βοηθάει να βρίσκουμε και τις υπόλοιπες νότες-συχνότητες.
Υπάρχει κανένας που γνωρίζει αυτή την εξίσωση;;;
Φιλάκιαααα

[marcius]

Vasika exw tin entipwsi oti i LA einai 440 oxi 460. Diorthwse me an kanw lathos. Oso gia ton tipo den gnwrizw..
Geia xara..
PS. Kserei kaneis theoria panw stis armonikes fysikes kai texnites? Ayto tha itan endiaferon na anaptyxthei kathws einai ola thema analogiwn..

[Σπύρος]

Η λα είναι 440 Hz και η επομενη λα το διπλάσιο.
Για τις ενδιάμεσες νότες σίγουρα υπάρχει κάποια σχέση λογαριθμική αλλά δεν την γνωρίζω.
Επίσης είχε πάρει το αυτί μου κάποιες αρκετά επιτυχημένες προσπάθειες να μεταφραστεί η μουσική του Μπετόβεν σε μαθηματικούς τύπους .
Επίσης έχω ακούσει ότι πολλοί γράφουν μουσική με μαθηματικούς τύπους.
Νομίζω πιο κατάλληλος για να απαντήσει θα είναι όπως πάντα ο Απόλλωνας

[Ο Νέος Κιθαρωδός]

Αφού η Λα ειναι στα 440 Hz και η επόμενη Λα στα 880, και ανάμεσά τους μεσολαβούν 12 ίσα διαστήματα, τότε ψάχνουμε για έναν αριθμό x τέτοιο ώστε:

440 * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x = 880
(έχουμε 12 φορές x στην παραπάνω εξίσωση, για τα 12 ημιτόνια).

Και για να μην πολυλογώ, αυτό σημαίνει ότι το x είναι ίσο με την 12η ρίζα του 2, δηλαδή x=1,0594630943592952645618252949463, αν δεν έκανα λάθος στο κομπιουτεράκι μου.

Άρα, Λα δίεση = 440 * 1,05946... = 466,163 Hz
Σι = 466,163 * 1,05946... = 493,883
... και τα λοιπά.

Αυτό φυσικά ισχύει με την προϋπόθεση ότι τα 12 διαστήματα είναι ίσα μεταξύ τους, πράγμα που συμβαίνει σχεδόν σε όλα τα σύγχρονα όργανα. Παρ' όλα αυτά, η θεωρία της μουσικής λέει ότι οι διάφοροι ήχοι ακούγονται αρμονικά μεταξύ τους, όταν οι συχνότητές τους βρίσκονται σε απλή σχέση μεταξύ τους, π.χ. 1 προς 2, 2 προς 3 κλπ. Με τους παραπάνω "ανώμαλους" αριθμούς δεν είναι δυνατόν να πετύχουμε ακριβώς όλες τις πιθανές περιπτώσεις, μπορούμε όμως να τις προσεγγίσουμε σε σημείο που το μέσο αυτί να μην μπορεί να καταλάβει την διαφορά.

[bluewind]

"Επίσης έχω ακούσει ότι πολλοί γράφουν μουσική με μαθηματικούς τύπους."

Einai gegonos...omologw pws h pleionothta twn dhmiourghmatwn de mou einai idiaitera elkystikh, alla polloi katafeygoun se mathimatikes sxeseis, sth thewria tou xaous kai  sta fractals gia thn paragwgh hxwn. Oriste kai merika programmatakia:

http://www.hitsquad.com/smm/programs/MusiNum/

http://www.hitsquad.com/smm/programs/QuasiFractal/

http://www.hitsquad.com/smm/programs/FractMus/

http://www.hitsquad.com/smm/programs/Amusical_Generator/

[Σπύρος]

Αφού η Λα ειναι στα 440 Hz και η επόμενη Λα στα 880, και ανάμεσά τους μεσολαβούν 12 ίσα διαστήματα, τότε ψάχνουμε για έναν αριθμό x τέτοιο ώστε:

440 * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x = 880
(έχουμε 12 φορές x στην παραπάνω εξίσωση, για τα 12 ημιτόνια).

Και για να μην πολυλογώ, αυτό σημαίνει ότι το x είναι ίσο με την 12η ρίζα του 2, δηλαδή x=1,0594630943592952645618252949463, αν δεν έκανα λάθος στο κομπιουτεράκι μου.

Άρα, Λα δίεση = 440 * 1,05946... = 466,163 Hz
Σι = 466,163 * 1,05946... = 493,883
... και τα λοιπά.

Δεν νομίζω να είναι έτσι απλό. Η οκτάβα μετριέτε σε db που είναι λογαριθμικό μέγεθος έτσι το διάστημα από την μία νότα στην άλλη δεν είναι σταθερό.

[Πέτροc]

Βαθειά νερά.. ΠΟΛΥ Βαθειά νερά .. !!
Έχουμε και λέμε : Σπύρο, ο Νέος Κιθαρωδός έχει δίκιο (μέσες άκρες) παρόλο που μας έκρυψε αρκετά... ότι γράφει ισχύει εφόσον μιλάμε για ίσες αποστάσεις μεταξύ ημιτονίων (Standard 12-tone equal temperament). Υπάρχουν όμως αρκετοί άλλοι τρόποι (θεωρίες) σχετικά με το χωρισμό της οκτάβας σε διαστήματα (και γενικά με το κούρδισμα -κιθάρας ή άλλων οργάνων.)
Για όποιον ενδιαφέρεται :
http://www.bikexprt.com/tunings/tunings0.htm
http://www.midicode.com/tunings/index.shtml
http://www.xs4all.nl/~huygensf/scala/
και πολλά άλλα sites ή τολμήστε να ψάξετε στο δίκτυο για "intonation" ή "microtuning" και θα τελειώσετε του αγίου...
 

[Απόλλων]

Ευχαριστώ το Σπύρο για την ψήφο εμπιστοσύνης, αν και δεν κατάλαβα που βασίζεται η βεβαιότητά του ότι θα γνωρίζω την απάντηση.  Θα προσπαθήσω να προσεγγίσω το θέμα με τις λίγες γνώσεις που έχω και να μην περιπλέξω τα πράγματα.

Όπως είπε και ο Κιθαρωδός, η ΛΑ είναι 440 Ηz ενώ η επόμενη ΛΑ (μια οκτάβα υψηλότερα) είναι 880 Hz.  Αυτό το γνωρίζουμε πρακτικά γιατί ως γνωστόν τη νότα που παράγει μια χορδή ανοικτή μπορούμε να την κάνουμε μια οκτάβα υψηλότερη αν μειώσουμε το μήκος της χορδής στο μισό.  Και προκειμένου για την κιθάρα, αν πιάσουμε τη χορδή στο 12ο τάστο.  Η αλλαγή ενός ημιτονίου όμως, δηλαδή κάθε διαδοχικό τάστο, δεν ακολουθεί αναλογική πορεία πάνω στο μπράτσο της κιθάρας.  Έτσι η απόσταση στην πέμπτη χορδή από τη ΛΑ στη ΛΑ δίεση είναι μεγαλύτερη από ότι η απόσταση από τη ΛΑ δίεση στη ΣΟΛ.  Η απόσταση από τη ΛΑ δίεση στη ΣΟΛ είναι μεγαλύτερη από ότι η απόσταση από τη ΣΟΛ στη ΣΟΛ δίεση και ούτω καθεξής.  Δηλαδή αν και ανεβαίνουμε ίση ΤΟΝΙΚΗ απόσταση κάθε φορά, η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ απόσταση που διανύουμε δεν είναι η ίδια κάθε φορά.  Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και η συχνότητα, ή μάλλον η μεταβολή συχνότητας, θα ακολουθεί ανάλογη πορεία.  

Αν πάρουμε σαν επόμενο σημείο αναφοράς τη ΡΕ (μιλώντας πάντα για την πέμπτη χορδή) αυτή βρίσκεται στο 1/4 του μήκους της χορδής (πέμπτο τάστο).  Άρα λογικά θα πρέπει να έχει συχνότητα ακριβώς μεταξύ των 220 της ΛΑ (5η χορδή ανοικτή) και των 440 της επόμενης ΛΑ (5η χορδή στο 12ο τάστο).  Δηλαδή η ΡΕ θα είναι 330 Ηz.

Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να βρεθούν οι συχνότητες κάθε νότας.  Είναι απλά μαθηματικά, καθώς η συχνότητα είναι πάντα αντιστρόφως ανάλογη του μήκους της χορδής.  Δεν νομίζω λοιπόν ότι χρειάζονται πολύπλοκοι μαθηματικοί τύποι.  Χρειάζεται μόνο ένας γνώμονας (κοινώς χαρακάκι) και η απλή μέθοδος των τριών.  Αυτή τουλάχιστον την εντύπωση έχω.  Αν γνωρίζει κανείς κάτι διαφορετικό, ας μου το πεί.

Πάω να φτιάξω ένα καφέ γιατί νιώθω έντονη κόπωση...

[Lordos]

 
Και μετά από όλα αυτά τα ... μουτράκια και τα απαραίτητα ΕΥΧΑΡΙΣΤΗΡΙΑ για τη συμμετοχή στη συζήτηση που άνοιξα (μόνιμα ... προβληματιζόμενοοοος)
Δηλώνω ότι ο ... δαίμων του πληκτρολογίου με ... ρεζίλεψε στο 440/460.
Για τις απόψεις γύρω από την εξίσωση και επειδή στο ρώτησα και προφορικά ένα φίλο που μου είπε για τη 12η ρίζα του 2, αποφάσισα να ερευνήσω το θέμα ... μηχανικά.
Θα έχετε τα ... αποτελέσματά μου μόλις καταφέρω να να έχω (σύντομα νομίζω).
Ευχαριστώ και ...
Φιλάκιααααα

[organopextis]

 Συμφωνώ με το Σπύρο η οταβα μετριεται με db einai μέγεθος.

[Βραζίλης]

Δεν νομίζω να είναι έτσι απλό. Η οκτάβα μετριέτε σε db που είναι λογαριθμικό μέγεθος έτσι το διάστημα από την μία νότα στην άλλη δεν είναι σταθερό.

Το db ειναι μοναδα μετρησης της εντασης του ηχου, οχι της συχνοτητας.
(και το "μετριεται" γραφεται με "αι" (παθητικη φωνη))  

[Σπύρος]

Με db δεν μετράμε μόνο ήχο. Έτσι έχει επικρατήσει.
Με db μετράμε την σχέση μεταξύ δύο μεγεθών σε λογαριθμική κλίμακα.
Π.χ. σε db μετράμε τον θόρυβο ένος ενισχυτή ο οποίος φυσικά δεν είναι ήχος αλλά τάση (Volts) κλπ

[Πέτροc]

Θα σας πω μια ιστορία…
Ήταν κάποτε (2ος Αιώνας μ.Χ.) ένας καλός και μουσικόφιλος κύριος (πιθανότατα μέλος του ancient.kithara.gr) που τον έλεγαν Πυθαγόρα. Αυτός λοιπόν περνούσε από ένα σιδεράδικο και άκουσε τα χτυπήματα των σφυριών στα αμόνια και στα σίδερα και τα περισσότερα του φάνηκαν σε ΑΡΜΟΝΙΑ μεταξύ τους. Άρχισε λοιπόν να ταλαιπωρεί τους καϋμένους τους σιδεράδες : Χτύπα με μικρότερο σφυρί, πιο δυνατά, σε μεγαλύτερο σίδερο κ.λ.π. και άκουγε…
Ζήτησε λοιπόν και του έφτιαξαν και μια συσκευή (περίπου όπως ο σημερινός κανόνας) όπου τις μεταλλικές χορδές τις τέντωναν βάρη.  Αλλάζοντας λοιπόν τα βάρη και ακούγοντας τον ήχο την χτυπημάτων κατέληξε στα εξής : Τα πιο όμορφα ακούσματα γίνονταν όταν η αναλογίες των βαρών ήταν 2/1(οκτάβα) και 4/3 (τετάρτη) και 3/2 (πέμπτη) κ.λ.π. θέτοντας τις βάσεις για το κούρδισμα των οργάνων και τις μουσικές κλίμακες των τραγουδιών της εποχής του (και των επόμενων). (http://users.rcn.com/dante.interport/nico.html)
Για να μην τα πολυλογώ, από τότε μέχρι το τέλος του 18ου αιώνα  παρουσιάστηκαν και άλλα κουρδίσματα (π.χ. Κούρδισμα Πτολεμαίου,  Meantone Temperament  - http://www.hlalapansi.demon.co.uk/Acoustics/MusicMaths/MusicMaths.html ) με αντίστοιχα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, αλλά τότε άρχισε να εφαρμόζεται το «συγκερασμένο Κούρδισμα» (equal temperament) και η γνωστή κλίμακα (τα οποία ανακαλύφθηκαν το 1636 από άλλον έναν καλό κύριο και επίσης μουσικόφιλο τον Marin Mersenne ).
Αυτό το κούρδισμα είναι ένας καλός συμβιβασμός αρμονίας και πρακτικής, με τα εξής χαρακτηριστικά :
Κάθε οκτάβα χωρίζεται σε 12 ίσα μέρη (ημιτόνια) με λόγους την 12τη ρίζα του 2 (1.05946…) (Μπράβο νέε Κιθαρωδέ.. αυτά που έγραψες είναι απολύτως ακριβή)
Κάθε διάστημα ημιτονίου αποτελείται από 100 cents. (Η ελάχιστη μουσική διαφορά που καταλαβαίνουμε είναι περίπου 5 cents (π.χ. 1,26 Hz στις μεσαίες οκτάβες)
Και βεβαίως όλα αυτά ισχύουν  για τη λεγόμενη Δυτική μουσική. Οι φίλοι μας οι Άραβες έχουν άλλα κουρδίσματα και κλίμακες.
Και επειδή κάποτε πρέπει να τελειώσω, ορίστε κάποια χρήσιμα links : http://www.angelfire.com/music/harmonica/temperaments.htm
http://www.xs4all.nl/~huygensf/scala/

[marcius]

oraios newbie!
Pantws oson afora stis analogies, den einai akrivws idies apostaseis, ta tasta DEN einai ola isa!! Stin byzantini mousiki kathws kai se organa sxetika me ayti (opws episis kai sto boulgari--> nai nai, einai organo!) ta tasta einai kinita-metavlita kai o mousikos "ftiaxnei" tis syxnotites opws prepei.
Elpizw na min lew kati poli lathos kathws den exw kanei armonia, alla apo osa exw akousei krinw..
ciao..

PS. Me tis armonikes kaneis???

[Thanocaster]

Paidia nomizw pws exei na kanei me armonikes proodous (tis morfis 1/x, 1/2x, 1/3x... klp). Pantws einai ena eksairetika disnoito montello afto twn mousikwn sixnotitwn, ka8ws den stirizetai se apla mathimatika.

Telospantwn, afto pou exw na pw einai oti afto itan ena apo ta pleon endiaferonta topics pou exw sinantisei! Mpravo lorde

[Lordos]

Σασ ειχα υποσχεθει τη "μηχανική διερεύνηση του θέματος και τη σχετική ενημέρωσή σας.
Παρακάτω υπάρχει πίνακας που δείχνει μετρηθείσα και υπολογισθείσα συχνότητα.
Το ότι δεν συμπίπτουν οι τιμές ακριβώς, ωφείλεται στο "μειονέκτημα" της Audio Generator να εχει ένδειξη με ακρίβεια σε επίπεδο υποδιαστολής.
ΜΕΘΟΔΟΣ:
Η Γεννήτρια Ακουστικών Συχνοτήτων συνδέθηκε στην είσοδο του KORG CA-10 (κουρδιστήρι κιθάρας) και με αναφορά τη ΛΑ (440c/s) άρχισε η μεταβολή συχνότητας μέχρι το KORG να δείξει ΣΙ -0- οπότε διαβάστηκε η συχνότητα στο καντραν της Γεννήτριας.
Εννοείται συνεχής επανάληψη μέχρι τέλους.
Νότα   Μετρ/σα Συχν.   Υπολογ.Συχν.
A   440   440
A#   466   466,1637615
B   493   493,8833013
C   523   523,2511306
C#   554   554,365262
D   587   587,3295358
D#   622   622,2539674
E   659   659,2551138
F   698   698,4564629
F#   739   739,9888454
G   784   783,990872
G#   830   830,6093952
A   880   880
Σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή σας στη συζήτηση και για τα καλά σας λόγια...
Φιλάκιαααα    

[Ο Νέος Κιθαρωδός]

Euxaristoume poly, Lorde!

Proteino apo edo kai pera thn enallaktikh grafh sygxordion:

            493m                 784
Τότε τι κρίμα, τι κρίμα, τι κρίμα
       659                          440
παντού περισσεύεις και παντού ξεψυχάς

[Blue Aura]

mporeite na rixete mia matia kai sto akoloutho site

http://www.math.niu.edu/~rusin/uses-math/music/

[Πέτροc]

Αίσχος Νέε Κιθαρωδέ ...
Η υπεραπλουστευτική σου πρόταση αποτελεί όνειδος για τα ύψιστα standards του Στεκίου (από το Στέκι .. ). Ο Σωστός συμβολισμός είναι να αναγράφονται οι συχνότητες ΟΛΩΝ των Συγχορδιών (π.χ. Αm = 440/523/659) και μάλιστα με ακρίβεια 6 δεκαδικών (δηλαδή κάπως 440.000000/523.251130/659.255113).
Ήδη έχω εφαρμόσει το σύστημα γραφής αυτό στο ηλεκτρονικό μου Κιθαροτήρι με θαυμάσια αποτελέσματα !!
Η μέθοδος είναι απλή : προτού παίξω μια συγχορδία τροφοδοτώ το Κιθαροτήρι με τις παραπάνω ακολουθίες των συχνοτήτων, και ... χάρμα ώτων..
(το μόνο μειονέκτημα του συστήματος είναι στο χρονισμό των κομματιών. Για να παίξω την ’ταξιδιάρα ψυχή’  έκανα 7.5 ώρες..!!  Θα βελτιωθώ όμως   ..)

Πολλά και Καλά Τραγούδια σε όλους ..

[Thanocaster]

Oops! Ithela na pw armonikes (1/x, 1/x^2, 1/x^3, ...)

[sofos]

 Θα ήθελα να ρωτήσω μερικά πράγματα για τη σχέση Μαθηματικών και μουσικής καθως επίσης και τι σχέση του Πυθαγόρα με τη μουσική. Ελπίζω να βρώ ανταπόκριση απο έσας τους πιο ειδικούς!

[organopextis]

 θΑ προσπαθήσω φίλε μου να σου πω λίγα πράγμάτα που γνωρίζω.
Για πολλούς τα μαθηματικά και η μουσική ειναι δυο χώροι ετερόκλητοι. Αν ρωτήσεις ωστόσο το Θάνο Μικρούτσικο η Τον Βαγγέλη Γερμανό θα σε βεβαιώσουν για το αντίθετο.!
Δεν εχει αποδειχθεί, αν πραγματικά οι μαθηματικοί τα καταφέρνουν καλύτερα στη μουσική απο τους υπόλοιπους ή  οι μουσικοί με τη σειρά τους τα καταφέρνουν στα μαθηματικά.
Το μόνο σίγουρο ειναι οτι απο πόλυ νωρις οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια στενή σχέση που συνδέει τα μαθηματικά μα τη μουσική, με πρώτον απ όλους τον Πυθαγόρα.
Ο πυθαγόρας ανακάλυψε μια σχέση μεταξύ των φυσικών αριθμών 1,2,3,4,.. και της αρμονίας που χαρακτηρίζει κάθε είδους μουσικής.
Ειναι γνωστό οτι αν χτυπήσουμε μια χορδή θα ακουστεί μια νότα.Αν χτυπήσουμε μια χορδή φτιαγμένη απο το ίδιο υλικό αλλα με διπλάσιο μήκος θα ακούσουμε την ίδια νότα αλλα σε μία οκτάβα χαμηλότερα.Με την ίδια χορδή λοιπόν και ξεκινόντας απο  μια νότα ως αφετηρία μπορούμε να παράγουμε όλες τις υπόλοιπες νότες σε όλες της οκτάβες ,αλλάζοντας κατάλληλα το μήκος της χορδής
Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε την αριθμητική σχέση μεταξύ του ντο,φα,σολ και του ντο που βρίσκεται μια οκτάβα πιο κάτω καθώς και μεταξύ ισοδύναμιών τουε σε οποιαδήποτε οκτάβα!
Τα παραπάνω φαίνονται χαρακτηριστικά ,αν παρατηρίσει κάποιος έναν κιθαρίστα καθώς κουρδίζει την κιθάρα του. Το ''μέτρημα'' της χορδής με τη ΄χρήση των τάστων(τάστα ειναι τα χωρίσματα που φαίνονται πάνω στο ''μπράτσο ''της κιθάρας) ειναι εφαρμογή της θεωρίας του Πυθαγόρα!
Κάπως ετσι εξηγείται και το γεγονός οτι μπορούμε να προγραμματίσουμε εναν υπολογιστή να παίξει μουσική, αφού κάθε νότα μεταφράζεται σε αριθμό( στο δυαδικό σύστημα βεβαια) ειναι εφαρμογή της θεωρίας του Μεγάλου Πυθαγόρα!

[Πέτροc]

Παιδιά να ξεκαθαρίσουμε δυο πραγματάκια..
Άλλο πράγμα η μουσική (με την έννοια της τεχνολογίας ή του θεωρητικού υπόβαθρου) και άλλο πράγμα η μουσική (με την έννοια της σύνθεσης)

Όσο για τη μουσική σύνθεση, εδώ ίσως αξίζει να ψάξει κανείς το έργο του Ιάννη Ξενάκη (δεν έχω ασχοληθεί αλλά έχω διαβάσει για συνθέσεις που έχουν βγεί χρησιμοποιώντας αριθμοσειρές - γενικά "βαρειά" μαθηματικά)

Αυτά για την ώρα..

[organopextis]

 H ερώτηση νομίζω οτι ήταν για σχέση μουσικής-μαθηματικών και για τον Πυθαγόρα, για σύνθεση δεν έλεγε τίποτα ! Απλά μια 'αποψη ανέφερα που νομίζω οτι ειναι αποδεκτή απο πολλους !

[ΠΑΝΜΕΓΙΣΤΟΣ - EOSFORUM - SOTRIANI -]

     Σωστος ως ενα σημειο! Οι κλασματικες αναπαραστασεις (λογοι) του Πυθαγορα (οκταβα π.χ. =1/2) δεν εχουν καμια σχεση μετην ψηφιοποιηση στο διαδικο συστημα η στα MIDI
     Aλλο το ενα αλλο το αλλο!


sotriani